Question

1．某工廠要安排生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品要在A、B、C、D四種不同的設(shè)備上加工，按工藝規(guī)定，在一天內(nèi)，產(chǎn)品Ⅰ每件在A、B、C、D設(shè)備上需要加工時(shí)間分別是2、2、3、0小時(shí)，產(chǎn)品Ⅱ每件在A、B、C、D設(shè)備上需要加工時(shí)間分別是4、1、0、3小時(shí)，A、B、C、D設(shè)備最長(zhǎng)使用時(shí)間分別是16、8、9、9小時(shí)．設(shè)計(jì)劃每天生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ的數(shù)量為x（件），產(chǎn)品Ⅱ的數(shù)量為y（件）．（x，y∈N）
（1）用x，y列出滿足設(shè)備限制使用要求的關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）已知產(chǎn)品Ⅰ每件利潤(rùn)2（萬(wàn)元），產(chǎn)品Ⅱ每件利潤(rùn)3（萬(wàn)元），在滿足設(shè)備限制使用要求的情況下，問該工廠在每天內(nèi)產(chǎn)品Ⅰ，產(chǎn)品Ⅱ各生產(chǎn)多少件會(huì)使利潤(rùn)最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知條件列出不等式組，畫出可行域即可．
（2）寫出目標(biāo)函數(shù)，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）x，y所滿足的關(guān)系式為$\left\{\begin{array}{l}2x+4y≤16\\ 2x+y≤8\\ 0≤3x≤9\\ 0≤3y≤9\\ x，y∈N\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+2y≤8\\ 2x+y≤8\\ 0≤x≤3\\ 0≤y≤3\\ x，y∈N\end{array}\right.$．…（3分）
畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+2y≤8\\ 2x+y≤8\\ 0≤x≤3\\ 0≤y≤3\\ x，y∈N\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域，即可行域，
（圖中實(shí)心點(diǎn)）（注：可行域畫成陰影區(qū)域及未標(biāo)注x，y∈N扣1分）…（6分）
（2）設(shè)最大利潤(rùn)為z（萬(wàn)元），則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y．…（8分）
將z=2x+3y變形$y=-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，這是斜率為$-\frac{2}{3}$，隨z變化的一組平行直線，$\frac{z}{3}$是直線在y軸上的截距，
當(dāng)$\frac{z}{3}$取得最大值時(shí)，z的值最大，又因?yàn)閤，y所滿足的約束條件，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}x+2y=8\\ 2x+y=8\end{array}\right.$，得點(diǎn)M坐標(biāo)為$（{\frac{8}{3}，\frac{8}{3}}）$．
又∵x，y∈N，當(dāng)直線$y=-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)A（2，3）時(shí)，截距$\frac{z}{3}$最大．…（10分）
此時(shí)，z=2×2+3×3=13．
所以，每天安排生產(chǎn)2件產(chǎn)品Ⅰ，3件產(chǎn)品Ⅱ，會(huì)使利潤(rùn)最大為13（萬(wàn)元）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．