Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為（　　）

• A． $[{0，\frac{12}{5}}]$
• B． [0，1]
• C． $[{1，\frac{12}{5}}]$
• D． $（{0，\frac{12}{5}}）$

Answer 1

分析 設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng)，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答 解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由MA=2MO，知：$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得：x²+（y+1）²=4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點(diǎn)M在圓C上，∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$，∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（2a-3）^{2}}$≤3，
化簡(jiǎn)可得 0≤a≤$\frac{12}{5}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的判定，兩點(diǎn)間的距離公式，圓和圓的位置關(guān)系的判定，屬于中檔題．