Question

5．已知函數f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1（其中0＜ω＜1），若點（-$\frac{π}{6}$，1）是函數f（x）圖象的一個對稱中心．
（Ⅰ）試求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據正弦函數的圖象的對稱性，求得ω的值，可得函數的解析式．
（Ⅱ）利用正弦函數的單調性，求得函數f（x）在區(qū)間[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵點（-$\frac{π}{6}$，1）是函數f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1（其中0＜ω＜1）圖象的一個對稱中心，
∴2ω•（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，∴ω=$\frac{1}{2}$，∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1．
（Ⅱ）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，故函數的減區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z．
結合x∈[-π，π]，可得減區(qū)間為[-π，$\frac{2π}{3}$]、[$\frac{π}{3}$，π]．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性，正弦函數的單調性，屬于基礎題．