Question

已知拋物線C₁、橢圓C₂和雙曲線C₃在x軸上有共同的焦點(diǎn)，且三條曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，2），C₁的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，C₂、C₃的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸．
（1）求這三條曲線的方程
（2）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)P（3，0），交拋物線C₁于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，把點(diǎn)M（1，2）代入拋物線的方程，求得拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，再把點(diǎn)M（1，2），代入橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)AP的中點(diǎn)為C，l'的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l'于D，E兩點(diǎn)，DE中點(diǎn)為H，根據(jù)垂徑定理即可得到方程=（a-2）x₁-a²+3a，探討該式何時(shí)是定值．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的方程y²=2px（p＞0），代入M（1，2）得p=2，C₁方程y²=4x（2分）
橢圓C₂和雙曲線C₃焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），c=1
對(duì)于橢圓C₂：，，，
得C₂方程：（4分）
對(duì)于雙曲線C₃：，，，
得C₃方程：（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），以AP為直徑的圓的圓心為，
設(shè)存在符合條件的直線l′：x=n，圓心到l′的距離為，
所以l′被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為=，（10分）
當(dāng)n=2時(shí)，即l′方程x=2，弦長(zhǎng)為定值（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓與雙曲線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．其中問(wèn)題（2）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，