Question

4．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，側(cè)面BCC₁B₁的面積為2，棱柱體積為V₁，而其外接球體積為V₂，那么$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{8π}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=x，AC=y，利用基本不等式得出V₁，V₂的最值及其條件，從而得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)AB=x，AC=y，則BC=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴BB₁=$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，B₁C=$\sqrt{B{C}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的半徑R=$\frac{1}{2}$B₁C=$\sqrt{\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{4}+\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≥1（當(dāng)且僅當(dāng)x²+y²=2時(shí)取等號(hào)），
∴V₁=$\frac{1}{2}AB•AC•B{B}_{1}$=$\frac{xy}{2}•\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{xy}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{2xy}}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)），
∴V₂=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$≥$\frac{4π}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)x²+y²=2時(shí)取等號(hào)）．
∴當(dāng)x=y=$\sqrt{2}$時(shí)，$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{8π}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{8π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了常見(jiàn)幾何體的體積計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．