Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是﹣3，求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）

又 ，

解得b=0，a=﹣3或a=1

（2）解：函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f′（x）[是二次函數(shù)]，在（﹣1，1有實(shí)數(shù)根但無(wú)重根．

∵f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=（x﹣a）[3x+（a+2）]，

令f′（x）=0得兩根分別為x=a與x=

若a= 即a=﹣ 時(shí)，此時(shí)導(dǎo)數(shù)恒大于等于0，不符合題意，

當(dāng)兩者不相等時(shí)即a≠﹣ 時(shí)

有a∈（﹣1，1）或者 ∈（﹣1，1）

解得a∈（﹣5，1）且a≠﹣

綜上得參數(shù)a的取值范圍是（﹣5，﹣ ）∪（﹣ ，1）

【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)：f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），再利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關(guān)于a，b等式解之，從而問題解決．（2）根據(jù)題中條件：“函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）不單調(diào)，”等價(jià)于“導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)”，由于導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，有兩個(gè)根，故問題可以轉(zhuǎn)化為到少有一根在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)，先求兩根，再由以上關(guān)系得到參數(shù)的不等式，解出兩個(gè)不等式的解集，求其并集即可；
【考點(diǎn)精析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．