Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，以F₁為圓心F₁F₂為半徑的圓恰好經(jīng)過點A且與直線l：x-

3

y-3=0相切
（1）求橢圓C的離心率；
（2）求橢圓C的方程；
（3）過右焦點F₂作斜率為K的直線與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0）使得PM，PN以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓F₁經(jīng)過點A且半徑為2c，可得|AF₁|=|F₁F₂|，由此可得a=2c，從而可求橢圓C的離心率；
（2）利用以點F₁為圓心，以2c為半徑的圓與直線l：x-

3

y-3=0相切，求出c的值，結(jié)合（1）中離心率的值，即可確定橢圓的方程；
（3）設(shè)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合菱形對角線垂直，即(

PM

+

PN

)•

MN

=0，從可用k表示出m，由此即可確定m的取值范圍．

解答：解：（1）因為圓F₁經(jīng)過點A且半徑為2c，所以|AF₁|=|F₁F₂|，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)|AF₁|=a，所以a=2c，所以e=

c

a

=

1

2

（3分）
（2）因為以點F₁為圓心，以2c為半徑的圓與直線l：x-

3

y-3=0相切，
所以

|c+3|

1+3

=2，即15c²-6c-9=0，
因為c＞0，所以c=1，
又因為e=

1

2

，所以a=2，所以b²=a²-c²=4-1=3
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（7分）
（3）由（2）知F₂（1，0），所以設(shè)l：y=k（x-1）
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，可得 （3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）（9分）

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=(x1+x2-2m，y1+y2)
由于菱形對角線垂直，則(

PM

+

PN

)•

MN

=0，而

MN

=(x2-x1，y2-y1)
所以（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0
即k（y₂+y₁）+x₁+x₂-2m=0，所以k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0
所以k2(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0，由已知條件可知k≠0且k∈R（11分）
所以m=

k2

3+4k2

=

1

4+ 3 k2

，所以0＜m＜

1

4

故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是0＜m＜

1

4

．（13分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．