Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）是否存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)， ，對(duì)恒成立，求整數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ)見(jiàn)解析；(Ⅲ)2.

【解析】

（Ⅰ）由，討論和導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）由正實(shí)數(shù)a，結(jié)合（Ⅰ）的單調(diào)性可得，即g(x)=f(x)+在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)可得a對(duì)恒成立，分析不等式右邊函數(shù)的最值即可；

（Ⅲ）由題意得lnx對(duì)恒成立，當(dāng)x=1時(shí)，b； 又 b，通過(guò)證明b=2時(shí)不等式成立即可得解.

（Ⅰ）∵，．

∴（�。┤�，則恒成立f(x)在上單調(diào)遞增；

（ⅱ）若，則．

令，解得；令，解得．

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上：當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）滿足條件的a不存在．理由如下：

若，由（Ⅰ）可知，函數(shù)f(x)=alnx+在為增函數(shù)；

不妨設(shè)，

則，即

∴由題意：g(x)=f(x)+在上單調(diào)遞減，

∴在上恒成立,即a對(duì)恒成立；

又在上單調(diào)遞減；

∴a；故滿足條件的正實(shí)數(shù)a不存在．

（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，使對(duì)恒成立

即lnx對(duì)恒成立．

∴ 當(dāng)x=1時(shí)，b； 又 b

下面證明：當(dāng)b=2時(shí)，lnx對(duì)恒成立．

當(dāng)b=2時(shí)，lnx．

設(shè)g(x)=，則．

易知： ，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴g(x)

即當(dāng)b=2時(shí)，lnx對(duì)恒成立．∴