Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，.

①求的取值范圍；

②求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）①，②見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題中所給的的條件，令導(dǎo)數(shù)大于零和導(dǎo)數(shù)小于零，分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得參數(shù)m的范圍，之后根據(jù)兩個(gè)零點(diǎn)的條件，以及函數(shù)圖象的特點(diǎn)，證得結(jié)果.

（Ⅰ）由已知得，，

由，，令得：，

令得，

所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）令 ，

∴，

①解法一：由得，；由得，易知，為的極大值點(diǎn).

，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

由題意，只需滿足，

∴的取值范圍是：.

解法二：，

由得，；由得，易知，為極大值點(diǎn).

而在時(shí)取得極小值，

由題意，只需滿足，解得.

②由題意知，，為函數(shù) 的兩個(gè)零點(diǎn)，由①知，不妨設(shè)，則，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，

欲證，只需證明，而，

所以，只需證明.

令，則

∴

∵，∴，即

所以，，即在上為增函數(shù)，所以，，

∴成立，所以，.