Question

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加100元．已知總收益R是年產(chǎn)量Q（件）的函數(shù)，其圖象（圖中實(shí)線部分）如下：當(dāng)年產(chǎn)量Q在[0，400]內(nèi)時(shí)，為拋物線的一段；當(dāng)年產(chǎn)量Q＞400件時(shí)，為一條射線．
①寫出總收益R與年產(chǎn)量Q的函數(shù)關(guān)系式；
②該工廠每年生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大值是多少？（總利潤(rùn)等于總收益與成本之差）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：①根據(jù)函數(shù)圖象，利用分段函數(shù)表示即可；
②設(shè)每年生產(chǎn)Q件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)為y元，則y=R-100Q-20000，然后分別求出每段的最大值，從而可求出所求．

解答： 解：①當(dāng)0≤Q≤400時(shí)，設(shè)R=a（Q-400）²+80000  （a＜0）…（2分）
又∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），∴0=a（-400）²+80000∴a=-

1

2

…（4分）
∴R=

400Q- 1 2 Q2(0≤Q≤400) 80000(Q≥400)

…（6分）
②設(shè)每年生產(chǎn)Q件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)為y元，則y=R-100Q-20000，
y=

300Q- 1 2 Q2-20000(0≤Q≤400，Q∈N) 60000-100Q(Q＞400．Q∈N)

=

- 1 2 (Q-300)2+25000(0≤Q≤400，Q∈N) 60000-100Q(Q＞400，Q∈N)

∴當(dāng)Q＞400時(shí)，y＜20000，當(dāng)0≤Q≤400時(shí)，當(dāng)Q=300時(shí)，y=25000．
答：每年生產(chǎn)300件產(chǎn)品時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)25000元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．