Question

12．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為棱AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B₁C交BC₁于E，連結(jié)DE，則DE∥AB₁，由此能證明AB₁∥平面BDC₁．
（2）取AA₁⊥底面ABC，推導(dǎo)出∠AB₁C為直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角，由此能求出直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

解答 證明：（1）連結(jié)B₁C交BC₁于E，連結(jié)DE，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是BC₁的中點(diǎn)，
∵D為AC中點(diǎn)，∴DE∥AB₁，
∵DE?面BDC₁，AB₁?面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
解：（2）取AA₁⊥底面ABC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥AC，
∵BC⊥AC，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴AB₁在面BCC₁B₁的射影為B₁C，
∴∠AB₁C為直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角，
而B₁C=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，AC=2，
在Rt△ACB₁中，tan∠AB₁C=$\frac{AC}{{B}_{1}C}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
∴直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角的正切值為$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．