Question

【題目】設命題p：函數f（x）=lg（ax2﹣x+ ）的定義域為R；命題q：不等式3x﹣9x＜a對一切正實數x均成立．如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：∵命題p：函數f（x）=lg（ax2﹣x+ a）的定義域為R，
∴ax2﹣x+ a＞0恒成立，
解得a＞1；
∵命題q：不等式3x﹣9x＜a對一切正實數x均成立，令g（x）=3x﹣9x ，
∵g（x）=3x﹣9x=﹣（3x﹣ ）2+ ＜0，
∴a≥0．
∵“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，
∴命題p與命題q一真一假．
若p真q假，則a∈；
若p假q真，即，則0≤a≤1．
綜上所述，實數a的取值范圍：[0，1]．
【解析】利用對數函數的定義域是R求得p真，不等式3x﹣9x＜a對一切正實數x均成立，求出q真時x的范圍，再由真值表作出解答即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應用和函數的定義域及其求法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系；求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零．