Question

設命題p：函數h（x）=lg（ax²-x+

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a）的值域為R，命題q：不等式2-a＜a

2x+1

對一切正實數x均成立，如果“q或p”為真命題，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：

分析：由二次函數和不等式的性質分別可得p真和q真時的a的取值范圍，再由“q或p”為真命題，“p且q”為假命題，p，q一真一假，分類討論取并集可得．

解答： 解：對于命題p：當a=0時函數h（x）=lg（-x），定義域為（-∞，0），值域為R，符合題意；
當a≠0時，則為二次函數y=ax²-x+

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a，要滿足題意必須滿足二次函數值y能取到所有正實數，則要求其圖象開口向上，△≥0，或a=0，
即

a＞0 △=1- a2 4 ≥0

，解得0＜a≤2；
則命題p為真時0≤a≤2；
對于命題q，不等式2-a＜a

2x+1

對一切正實數x均成立，
當a≤0時，正數小于負數，不等式不成立，
當a＞0時，2-a＜a

2x+1

，即

2

a

-1＜

2x+1

對一切正實數x均成立，即

2

a

-1≤1，解得a≥1，
則命題q為真命題時a＞1，
若“q或p”為真命題，“p且q”為假命題，可得命題p，q一真一假，
當p真q假時，有

0≤a≤2 a＜1

，則0≤a＜1；
當p假q真時，有

a＜0或a＞2 a≥1

，則a＞2；
綜上，是實數a的取值范圍{x|0≤a＜1或a＞2}．

點評：本題考查復合命題與簡單命題真假的關系，利用條件先求出命題p，q為真命題的等價條件是解決這類題的關鍵，屬于難題．