Question

（2012•瀘州一模）在△ABC中，角A、B、c的對(duì)邊分別為a、b、c，若bcosA-acosB=

1

2

c．
（I）求證：tanB=3tanA；
（Ⅱ）若cosC=

5

5

，求角A的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正弦定理可求得sinBcosA=3sinAcosB，從而可求得tanB=3tanA；
（Ⅱ）由cosC=

5

5

可求得tanC=-2，即tan（A+B）=-2，利用兩角和的正切結(jié)合tanB=3tanA即可求得tanA，從而可求得A．

解答：解：（Ⅰ）∵bcosA-acosB=

1

2

c，
∴由正弦定理得：sinBcosA-sinAcosB=

1

2

sinC，…1
∴sinBcosA-sinAcosB=

1

2

sin（A+B）…3
∴2sinBcosA-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，…4
∴sinBcosA=3sinAcosB，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴cosA＞0，cosB＞0，…5
∴tanB=3tanA；…6
（Ⅱ）∵cosC=

5

5

，
∴0＜C＜

π

2

，sinC=

2 5

5

，tanC=2，…7
∴tanC=tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，…8
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-2，…9
∵tanB=3tanA，
∴

4tanA

1-3tan2A

=-2，…10
∴tanA=1或tanA=-

1

3

，…11
∵cosA＞0，
∴tanA=1，A=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，考查兩角和與差的正切函數(shù)，求得tanC的值是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想，屬于中檔題．