Question

18．如圖所示，已知圓O₁與圓O₂相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓O₁的切線交圓O₂于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交圓O₁，圓O₂于點(diǎn)D，E，DE與AC相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AD∥EC；
（2）若AD是圓O₂的切線，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB的長．

Answer 1

分析 （1）連接AB，根據(jù)弦切角等于所夾弧所對的圓周角得到∠BAC=∠D，又根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠BAC=∠E，等量代換得到∠D=∠E，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩直線平行即可；
（II）根據(jù)切割線定理得到AD²=DB•DE，利用AD是圓O₂的切線，AD²=DB•DE，由此即可求DB的長．

解答 （1）證明：連接AB，
∵AC是圓O₁的切線，∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC
（2）解：設(shè)PB=x，PE=y，
∵PA=3，PC=1，∴xy=3①，
∵AD∥EC，∴$\frac{AP}{PC}=\frac{DP}{PE}=3$，且DP=3y 
由AD是圓O₂的切線，∴AD²=DB•DE，∴6²=（3y-x）4y②
由①②可得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$，∴BD=3y-x=$\frac{9}{2}$

點(diǎn)評 此題是一道綜合題，要求學(xué)生靈活運(yùn)用直線與圓相切和相交時(shí)的性質(zhì)解決實(shí)際問題．本題的突破點(diǎn)是輔助線的連接．