Question

6．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，若a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}}{2}，}&{{a}_{n}是偶數(shù)}\\{{3a}_{n}+1，}&{{a}_{n}是奇數(shù)}\end{array}\right.$且a₁為一奇數(shù)，S₃=29，則S₂₀₁₅=4725．

Answer 1

分析 a₁為一奇數(shù)，可得a₂=3a₁+1，a₂為偶數(shù)，a₃=$\frac{1}{2}{a}_{2}$=$\frac{1}{2}（3{a}_{1}+1）$，利用S₃=29，解得a₁=5．可得a₂=16，a₃=8，a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4，…，因此當(dāng)n≥4時(shí)，a_n+3=a_n．即可得出．

解答 解：∵a₁為一奇數(shù)，∴a₂=3a₁+1，∴a₂為偶數(shù)，
∴a₃=$\frac{1}{2}{a}_{2}$=$\frac{1}{2}（3{a}_{1}+1）$，
∵S₃=29，
∴a₁+3a₁+1+$\frac{1}{2}（3{a}_{1}+1）$=29，
解得a₁=5．
∴a₂=16，a₃=8，a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4，…，∴當(dāng)n≥4時(shí)，a_n+3=a_n．
∴S₂₀₁₅=（5+16+8）+670×（4+2+1）+（4+2）
=4725．
故答案為：4725．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“分類(lèi)討論”方法、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．