Question

2．在平面直角坐標(biāo)xOy平面上，已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的兩點(diǎn)，∠AOB=θ（θ為鈍角）．
（1）若點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求tan（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，求x₁x₂+y₁y₂的值；
（3）若點(diǎn)A（1，0），若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，四邊形OACB的面積S_θ表示，求用S_θ+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可得tanθ=$\frac{y}{x}$的值，可得tan$\frac{θ}{2}$ 的值，進(jìn)而求tan（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）的值．
（2）由條件求得cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值，可得cosθ 的值，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義、兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得x₁x₂+y₁y₂的值；
（3）由題意可得四邊形OACB為菱形，求得S_θ+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得tanθ=$\frac{y}{x}$=$-\frac{4}{3}$，
∴tanθ=$\frac{2tan\frac{θ}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{θ}{2}}$=$-\frac{4}{3}$．解得tan$\frac{θ}{2}$=2或-$\frac{1}{2}$，
∴tan（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{θ}{2}+1}{1-tan\frac{θ}{2}}$=-3或$\frac{1}{3}$．
（2）由題意可得$\frac{π}{2}$＜θ＜π，sin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$＞0，
∴$θ+\frac{π}{4}$還是鈍角，∴cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ=\frac{3}{5}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ-\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴$\overrightarrow{0A}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=cosθ=$-\frac{\sqrt{2}}{10}$；
（3）∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，OA=OB，則四邊形OACB為菱形，它的面積用S_θ表示，
則 S_θ+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=1×sin（π-θ）+$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$=sinθ+1+1×1×cosθ
=1+sinθ+cosθ=1+$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
∵0＜θ＜π，
∴$\frac{π}{4}$＜θ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{5π}{4}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
1+$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（0，1+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的正弦、正切公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．