Question

12．已知過原點的直線交橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1于A，B兩點，若點M為拋物線y=x²+2上的一個動點，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 2-$\sqrt{3}$
• D． -5

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，分別設(shè)出A、B、M的坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{MA}$、$\overrightarrow{MB}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式后配方整理，結(jié)合A、M橫坐標(biāo)的范圍求得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最小值．

解答 解：如圖，
設(shè)A（x₀，y₀），則B（-x₀，-y₀），
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+{{y}_{0}}^{2}=1$．
再設(shè)M（${x}_{M}，{{x}_{M}}^{2}+2$），
∴$\overrightarrow{MA}=（{x}_{0}-{x}_{M}，{y}_{0}-{{x}_{M}}^{2}-2）$，$\overrightarrow{MB}=（-{x}_{0}-{x}_{M}，-{y}_{0}-{{x}_{M}}^{2}-2）$．
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=${{x}_{M}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}+（{{x}_{M}}^{2}+2）^{2}-{{y}_{0}}^{2}$=${{x}_{M}}^{4}+5{{x}_{M}}^{2}+4-\frac{2}{3}{{x}_{0}}^{2}-1$
=${{x}_{M}}^{4}+5{{x}_{M}}^{2}+3-\frac{2}{3}{{x}_{0}}^{2}$=$（{{x}_{M}}^{2}+\frac{5}{2}）^{2}-\frac{2}{3}{{x}_{0}}^{2}-\frac{13}{4}$．
∵${{x}_{M}}^{2}≥0$，$0≤{{x}_{0}}^{2}≤3$．
∴當(dāng)${{x}_{M}}^{2}=0，{{x}_{0}}^{2}=3$時，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$有最小值為$\frac{25}{4}-2-\frac{13}{4}=1$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積運算，訓(xùn)練了配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．