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17.已知函數f(x)=xe-x+(x-2)ex-a
(1)當a=0時,求f(x)的單調區(qū)間;
(2)當a>2時,若ex•f(x)≥x2-2x+1對任意x≥1恒成立,求實數a的取值范圍.

分析 (1)a=0時,f(x)=xe-x+(x-2)ex,f′(x)=(x-1)(ex-e-x),令f′(x)=0,解得x=0,1,進而可得其單調區(qū)間.
(2)令g(x)=ex•f(x)-(x2-2x+1)=(x-2)e2x-a-x2+3x-1.(x≥1).g(1)=1-e2-a∈(0,1).g′(x)=(2x-3)(e2x-a-1).令g′(x)=0,解得x1=32,x2=a2>1.對a分類討論,利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出.

解答 解:(1)a=0時,f(x)=xe-x+(x-2)ex,f′(x)=e-x-xe-x+ex+(x-2)ex=(x-1)(ex-e-x),
令f′(x)=0,解得x=0,1,
可得:

 x (-∞,0)(0,1)(1,+∞) 
 f′(x)+ 0- 0+
 f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
由表格可知:單調遞增區(qū)間為:(-∞,0),(1,+∞);單調遞減區(qū)間為:(0,1).
(2)令g(x)=ex•f(x)-(x2-2x+1)=(x-2)e2x-a-x2+3x-1.(x≥1).
g(1)=1-e2-a∈(0,1).
g′(x)=e2x-a+2(x-2)e2x-a-2x+3=(2x-3)(e2x-a-1).
令g′(x)=0,解得x1=32,x2=a2>1.
①a>3時,x2>x1,可得x=a2時g(x)取得極小值,ga2=-a24+2a-3.令ga2≥0,解得2≤a≤6.∴3<a≤6.
②a=3時,x2=x1,可得x=32時g(x)取得極小值,g(32)=34>0,滿足條件.
③2<a<3時,x2<x1,可得x=32時g(x)取得極小值,g(32)=34>0,滿足條件.
綜上可得:a的取值范圍是:(2,6].

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、不等式的解法、分類討論方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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