Question

已知函數(shù)（）

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式 .

 

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)，得到增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)得到減區(qū)間。（2）含參數(shù)不等式恒成立問題，一般要把要求參數(shù)分離出來，然后討論分離后剩下部分的最值即可。討論最值的時(shí)候要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。（3）證明不等式可以有很多方法，但本題中要利用（1）（2）的結(jié)論。構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性給予證明。

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720380842988453/SYS201411172038145707223187_DA/SYS201411172038145707223187_DA.007.png">， 1分

當(dāng)時(shí)，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減 3分

當(dāng)時(shí)，若，則，從而，

若，則，從而，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 5分

（2）由（1）得函數(shù)的極值點(diǎn)是，故 6分

所以，即，

由于，即. 7分

令，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 9分

故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 10分

（3）不等式 11分

構(gòu)造函數(shù)，則，

在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增， 13分

由于，所以，得

故 14分

考點(diǎn)：1、多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)；2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最值以及證明不等式的綜合應(yīng)用。