Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求f（x）的極值；
（Ⅲ）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由求導(dǎo)公式求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率f′（1）及f（1）的值，代入點斜式方程再化為一般式方程；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的定義域，再對導(dǎo)函數(shù)進行化簡，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得函數(shù)的單調(diào)性即極值情況；
（Ⅲ）先對導(dǎo)函數(shù)進行化簡，再對a進行分類討論，利用列表格判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（I）當(dāng)a=1時，f（x）=x+lnx，則f′(x)=1+

1

x

，---（1分）
所以f′（1）=2，且f（1）=1，------------------------（3分）
所以切線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0-------------------（5分）
（Ⅱ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），由（1）得f′(x)=1+

1

x

=

x+1

x

，-----（6分）
∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立-----（8分）
∴f（x）在（0，∞）上單調(diào)遞增，沒有極值---------（9分）
（Ⅲ）由題意得，f′(x)=1+

a

x

=

x+a

x

（x＞0）-----------------------------（10分）
當(dāng)a≥0時，在（0，∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是f′（x）＞0；-----（11分）
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）與f′（x）在定義域上的情況如下：

x	（0，a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

------------------------------------（13分）
綜上，當(dāng)a≥0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-a，+∞），減區(qū)間是（0，a）．-------（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的應(yīng)用，考查了分類討論思想，注意一定先求出函數(shù)的定義域，以及把導(dǎo)函數(shù)化到最簡．