Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，當x∈（0，1]且x₁≠x₂時，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．給出下列命題
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有5個零點
（3）點（2014，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心
（4）直線x=2014是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸．
則正確的是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）令x=0，求f（1）；
（2）由題意可得f（0）=f（1）=f（-1）=f（2）=f（-2）=0；
（3）證明f（2014+x）=-f（2014-x）即可；
（4）由于（3）正確，故（4）不正確．

解答： 解：（1）由題意，令x=0，則f（-1）=f（1），即-f（1）=f（1），則f（1）=0；
（2）由題意，f（0）=0，f（1）=f（-1）=0，f（2）=f（1-1）=f（0）=0，f（-2）=0，
則f（x）在[-2，2]上有5個零點；
（3）由f（x-1）=f（x+1）可知，f（x）以2為周期，
∵f（2014+x）=f（x），f（2014-x）=f（-x）=-f（x），
∴f（2014+x）=-f（2014-x），
∴點（2014，0）是函數(shù)y=f（x）的一個對稱中心，
（4）由于（3）正確，故（4）不正確；
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應用，屬于中檔題．