Question

6．已知函數f（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+log_ax，（a＞0且a≠1）為定義域上的增函數，f'（x）是函數f（x）的導數，且f'（x）的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設函數$g（x）=f（x）-\frac{2}{3}{x^3}-4lnx+6x$，且g（x₁）+g（x₂）=0，求證：${x_1}+{x_2}≥2+\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，由題意可得f'（x）≥0恒成立，即$2{x}^{3}-3{x}^{2}≥-\frac{1}{lna}$，構造函數m（x）=2x³-3x²，利用導數求其最小值，由其最小值大于等于$-\frac{1}{lna}$可得a≤e；再由f'（x）_min≤0求得a≥e，可得a=e；
（Ⅱ）由$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+lnx-\frac{2}{3}{x^3}-4lnx+6x=-\frac{3}{2}{x^2}-3lnx+6x$，結合g（x₁）+g（x₂）=0，可得$-\frac{1}{2}{（{x_1^{\;}+x_2^{\;}}）^2}+2（{{x_1}+{x_2}}）=ln（{x_1}{x_2}）-{x_1}{x_2}$，令x₁x₂=t，g（t）=lnt-t，求導可得g（t）≤g（1）=-1，得到${（{x_1^{\;}+x_2^{\;}}）^2}-4（{{x_1}+{x_2}}）-2≥0$，求解得答案．

解答 （Ⅰ）解：$f'（x）=2{x^2}-3x+\frac{1}{xlna}$，
由f（x）為增函數可得，f'（x）≥0恒成立，即$2{x}^{2}-3x+\frac{1}{xlna}≥0$，得$2{x}^{3}-3{x}^{2}≥-\frac{1}{lna}$，
設m（x）=2x³-3x²，則m'（x）=6x²-6x（x＞0），
由m'（x）=6x（x-1）＞0，得x＞1，由m'（x）=6x（x-1）＜0，得0＜x＜1．
∴m（x）在（0，1）上減，在（1，+∞）上增，在1處取得極小值即最小值，
∴m（x）_min=m（1）=-1，則$-1≥-\frac{1}{lna}$，即$1≤\frac{1}{lna}$，
當a＞1時，易知a≤e，當0＜a＜1時，則$\frac{1}{lna}＜0$，這與$1≤\frac{1}{lna}$矛盾，從而不能使得f'（x）≥0恒成立，
∴a≤e；
由f'（x）_min≤0可得，$2{x^2}-3x+\frac{1}{xlna}≤0$，即$2{x^3}-3{x^2}≤-\frac{1}{lna}$，
由之前討論可知，$-1≤-\frac{1}{lna}$，當1＞a＞0時，$-1≤-\frac{1}{lna}$恒成立，
當a＞1時，由1≥$\frac{1}{lna}$，得a≥e，
綜上a=e；
（Ⅱ）證明：$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+lnx-\frac{2}{3}{x^3}-4lnx+6x=-\frac{3}{2}{x^2}-3lnx+6x$，
∵g（x₁）+g（x₂）=0，
∴$-\frac{3}{2}x_1^2-3ln{x_1}+6{x_1}+（{-\frac{3}{2}x_2^2-3ln{x_2}+6{x_2}}）=0$，
∴$-\frac{3}{2}（{x_1^2+x_2^2}）-3ln（{x_1}{x_2}）+6（{{x_1}+{x_2}}）=0$，
即$-\frac{1}{2}[{{{（{x_1^{\;}+x_2^{\;}}）}^2}-2{x_1}{x_2}}]-ln（{x_1}{x_2}）+2（{{x_1}+{x_2}}）=0$，
則$-\frac{1}{2}{（{x_1^{\;}+x_2^{\;}}）^2}+{x_1}{x_2}-ln（{x_1}{x_2}）+2（{{x_1}+{x_2}}）=0$
∴$-\frac{1}{2}{（{x_1^{\;}+x_2^{\;}}）^2}+2（{{x_1}+{x_2}}）=ln（{x_1}{x_2}）-{x_1}{x_2}$，
令x₁x₂=t，g（t）=lnt-t，
則$g'（t）=\frac{1}{t}-1=\frac{1-t}{t}$，g（t）在（0，1）上增，在（1，+∞）上減，g（t）≤g（1）=-1，
∴$-\frac{1}{2}{（{x_1^{\;}+x_2^{\;}}）^2}+2（{{x_1}+{x_2}}）≤-1$，
整理得${（{x_1^{\;}+x_2^{\;}}）^2}-4（{{x_1}+{x_2}}）-2≥0$，
解得${x_1}+{x_2}≥2+\sqrt{6}$或${x_1}+{x_2}≤2-\sqrt{6}$（舍），
∴${x_1}+{x_2}≥2+\sqrt{6}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求函數的最值，考查數學轉化思想方法，靈活構造函數是解答該題的關鍵，屬難題．