Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=6，{a_{n+1}}=4-\frac{4}{a_n}（n$為正整數(shù)）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列$\{\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}\}$為等差數(shù)列；
（Ⅱ）若${b_n}=\frac{a_n}{{{{（2n+1）}^2}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對(duì)a_n+1=4-$\frac{4}{{a}_{n}}$變形，整理可知$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$-$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過a₁=6及（I）、整理可知${a_n}=\frac{4n+2}{2n-1}$，進(jìn)而裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：依題意，$\frac{{{a_{n+1}}+2}}{{{a_{n+1}}-2}}-\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}=\frac{{4-\frac{4}{a_n}+2}}{{4-\frac{4}{a_n}-2}}-\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}$
=$\frac{{6-\frac{4}{a_n}}}{{2-\frac{4}{a_n}}}-\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}=\frac{{3{a_n}-2}}{{{a_n}-2}}-\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}=\frac{{2{a_n}-4}}{{{a_n}-2}}=2$，
故數(shù)列$\{\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}\}$是公差為2的等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵a₁=6，
∴$\frac{{{a_1}+2}}{{{a_1}-2}}=2$，
由（I）可知$\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}=2+2（n-1）=2n$，
整理得：${a_n}=\frac{4n+2}{2n-1}$，
∴${b_n}=\frac{a_n}{{{{（2n+1）}^2}}}=\frac{4n+2}{{（2n-1）{{（2n+1）}^2}}}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
則${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{2n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．