Question

下列命題中是真命題的個數是（　�。�
①?α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ
②命題p：?x∈R，x²+x+1=0，則命題?p：?x∈R，x²+x+1≠0；
③?ϕ∈R，函數f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函數
④?a＞0，a≠1，函數f（x）=log_ax與y=a^x的圖象有三個交點．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質,簡易邏輯

分析：①取α=2kπ（k∈Z）滿足sin（α+β）=sinα+sinβ．
②由非命題的意義即可得出；
③取ϕ=kπ+

π

2

（k∈Z），函數f（x）=±cos2x是偶函數；
④當a∈（0，e^-e）時，函數f（x）=log_ax與y=a^x的圖象有三個交點．

解答： 解：①?α，β∈R，sin（α+β）≠sinα+sinβ，不正確，
因為取α=2kπ（k∈Z）滿足sin（α+β）=sinα+sinβ．
②命題p：?x∈R，x²+x+1=0，由非命題的意義可得：?p：?x∈R，x²+x+1≠0，正確；
③取φ=kπ+

π

2

（k∈Z），函數f（x）=sin（2x+φ）=±cos2x是偶函數，因此③不正確；
④?a＞0，a≠1，函數f（x）=log_ax與y=a^x的圖象有三個交點．
關于方程log_ax=a^x的解由以下結論：當a∈（0，e^-e）時，方程有三個實數根；當a∈[e^-e，1）或a=e

1

e

時，有1個實數根；當a∈(1，e

1

e

)時，有兩個實數根；當a＞e

1

e

時，無實數根．
據此可知：?a＞0，a≠1，函數f（x）=log_ax與y=a^x的圖象有三個交點，正確．
綜上可知：只有②④是真命題．
故答案為：②④．

點評：本題綜合考查了簡易邏輯的有關知識、三角函數與指數函數對數函數的性質，屬于難題．