Question

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

（1） 求橢圓的方程;

（2） 設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：可以巧用離心率，不妨設(shè)，由短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，，則，所以橢圓C的方程為，第二步先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去后得關(guān)于的一元二次方程，寫出，寫出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，又坐標(biāo)原點(diǎn)O到Ｌ的距離的，得到一個(gè)和的等量關(guān)系，代入面積表達(dá)式后，借助均值不等式求出最大值即可.

試題解析：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意

，

所求橢圓方程為．

（2）設(shè)，．

①當(dāng)軸時(shí)，為，代入．

得，

②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為．

由已知，得

把代入橢圓方程，整理得，

，，．

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

綜上所述．

當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值．