Question

5．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，$A{A_1}=AC=2，AB=\sqrt{3}$，E，F(xiàn)分別是A₁C₁，AB的中點．
（I）求證：平面BCE⊥平面A₁ABB₁；（II）求證：EF∥平面B₁BCC₁；
（III）求四棱錐B-A₁ACC₁的體積．

Answer 1

分析 （I）由BB₁⊥底面ABC得BB₁⊥BC，又AB⊥BC，故BC⊥平面A₁ABB₁，于是平面BCE⊥平面A₁ABB₁；
（II）取BC的中點D，連接C₁D，F(xiàn)D，由中位線定理和平行公理可得四邊形FDC₁E是平行四邊形，故而EF∥C₁D，于是EF∥平面B₁BCC₁；
（III）過點B作BG⊥AC于點G，則BG為四棱錐的高，代入體積公式計算即可．

解答 （I）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
所以，BB₁⊥BC．
又因為AB⊥BC且AB∩BB₁=B，
所以，BC⊥平面A₁ABB₁．
因為BC?平面BCE，
所以，平面BCE⊥平面A₁ABB₁．
（II）證明：取BC的中點D，連接C₁D，F(xiàn)D．
因為E，F(xiàn)分別是A₁C₁，AB的中點，
所以，F(xiàn)D∥AC且$FD=\frac{1}{2}AC$．
因為AC∥A₁C₁且AC=A₁C₁，
所以，F(xiàn)D∥EC₁且 FD=EC₁．
所以，四邊形FDC₁E是平行四邊形．
所以，EF∥C₁D．
又因為C₁D?平面B₁BCC₁，EF?平面B₁BCC₁，
所以，EF∥平面B₁BCC₁．
（III）解：因為$A{A_1}=AC=2，AB=\sqrt{3}$，AB⊥BC
所以，$BC=\sqrt{A{C^2}-A{B^2}}=1$．
過點B作BG⊥AC于點G，則$BG=\frac{AB×BC}{AC}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
因為，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AA₁?平面A₁ACC₁
所以，平面A₁ACC₁⊥底面ABC．
所以，BG⊥平面A₁ACC₁．
所以，四棱錐B-A₁ACC₁的體積$V=\frac{1}{3}A{A_1}×AC×BG=\frac{1}{3}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．