Question

已知z∈C，z₁=z+2i，z₂=

z

2-i

．
（1）若z₁，z₂都是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)z；
（2）在（1）的條件下，若復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a取值范圍；
（3）若z₁是純虛數(shù)，且|z1-z2|=

2

，求|z₁+z₂|．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)成為實(shí)數(shù)的充要條件即可得出；
（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出；
（3）利用復(fù)數(shù)成為純虛數(shù)的充要條件、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）．
則z₁=z+2i=a+（b+2）i，z₂=

z

2-i

=

a+bi

2-i

=

(a+bi)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

(2a-b)+(a+2b)i

5

=

2a-b

5

+

a+2b

5

i，
∵z₁，z₂都是實(shí)數(shù)，∴b+2=0，

a+2b

5

=0，解得b=-2，a=4．
∴z=4-2i．
（2）∵復(fù)數(shù)（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i=12-a²+4a+8（a-2）i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴

-a2+4a+12＞0 8(a-2)＜0

，解得-2＜a＜2．
（3）∵z₁是純虛數(shù)，可設(shè)z=mi（m∈R），z₁=（m+2）i（m+2≠0），
z₂=

mi

2-i

=

mi(2+i)

(2-i)(2+i)

=

-m+2mi

5

=-

m

5

+

2m

5

i．
∵|z1-z2|=

2

，∴|

m

5

+(m+2-

2m

5

)i|=

2

，
∴

( m 5 )2+(2+ 3m 5 )2

=

2

，
化為m²+6m+5=0，解得m=-1或-5．
當(dāng)m=-1時(shí)，z₁=i，z₂=

1

5

-

2

5

i，則|z₁+z₂|=|

1

5

+

3

5

i|=

( 1 5 )2+( 3 5 )2

=

10

5

．
當(dāng)m=-5時(shí)，z₁=-3i，z₂=1-2i，則|z₁+z₂|=|1-5i|=

26

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)成為實(shí)數(shù)的充要條件、幾何意義、復(fù)數(shù)成為純虛數(shù)的充要條件、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．