Question

已知集合A={x|x²-x-2≤0}，不等式x²-ax-a-2≤0在集合A上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用,集合

分析：解法1，求出集合A，設f（x）=x²-ax-a-2，利用二次函數的圖象與性質，得出

f(-1)≤0 f(2)≤0

，求出a的取值范圍；
解法2，求出集合A、B，由A⊆B，得

a- a2+4a+8 2 ≤-1 a+ a2+4a+8 2 ≥2

；從而求出a的取值范圍．

解答： 解法一：集合A={x|x²-x-2≤0}=[-1，2]，…（2分）
設f（x）=x²-ax-a-2，
由f（x）的圖象知：
當方程x²-ax-a-2=0的小根x₁≤-1，大根x₂≥2時，即可滿足題意； …（5分）
∴

f(-1)≤0 f(2)≤0

，即

-1≤0 2-3a≤0

，
解得a≥

2

3

；
∴實數a的取值范圍是[

2

3

，+∞)．…（8分）
解法二：集合A={x|x²-x-2≤0}=[-1，2]，
B=[

a- a2+4a+8

2

，

a+ a2+4a+8

2

]；
∵A⊆B，
∴

a- a2+4a+8 2 ≤-1 a+ a2+4a+8 2 ≥2

；
解得a≥

2

3

；
∴a的取值范圍是{a|a≥

2

3

}．

點評：本題考查了集合的應用問題，也考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是綜合題．