Question

 已知、，橢圓C的方程為，、分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓C上一點(diǎn)，存在以為圓心的與外切、與內(nèi)切

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)D，若

求的值；

（Ⅲ）已知真命題：“如果點(diǎn)T（）在橢圓上，那么過(guò)點(diǎn)T

的橢圓的切線方程為=1.”利用上述結(jié)論，解答下面問(wèn)題：

已知點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作橢圓C的兩條切線QM、QN，

M、N為切點(diǎn)，問(wèn)直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想

解：（Ⅰ）依題意可知，P與外切、內(nèi)切. 設(shè)P的半徑為，則

  -----------------------------------2分

，   2=4，2==2

=2，c=1 , 橢圓C的方程為+=1  ------------------------4分

（Ⅱ）直線AB：y=k（x-1），由  

,令A(yù),則，

，      ------------------------------------6分

∵

∴，

∵2=，， ------------------------------------8分

2+

=

= ，      ∴. -----------------------10分

（Ⅲ）設(shè)Q（）,M（），N（）

         則切線QM：

切線QN：

∴     ∴M、N在直線上

∴  直線MN：------------------------------------12分

又   

 ∴直線MN必過(guò)定點(diǎn)（）. ------------------------------------13分