Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．A、B是橢圓C的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)四邊形AEBF面積取最大值時(shí)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）通過(guò)橢圓的離心率，直線與圓相切，求出a，b即可求出橢圓的方程．
（2）設(shè)E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，將y=kx代入橢圓的方程x2+

y2

4

=1，利用韋達(dá)定理，結(jié)合點(diǎn)E，F(xiàn)到直線AB的距離分別，表示出四邊形AEBF的面積，利用基本不等式求出四邊形AEBF面積的最大值時(shí)的k值即可．

解答： 解：（1）由題意知：e=

c

a

=

3

2

∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²．…（2分）
又∵圓x²+y²=b²與直線x-y+

2

=0相切，∴b=1，∴a²=4，…（3分）
故所求橢圓C的方程為x2+

y2

4

=1…（4分）
（2）設(shè)E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
將y=kx代入橢圓的方程x2+

y2

4

=1整理得：（k²+4）x²=4，
故x2=-x1=

2

k2+4

．①…（5分）
又點(diǎn)E，F(xiàn)到直線AB的距離分別為h1=

|2x1+kx1-2|

5

=

2(2+k+ k2+4 )

5(k2+4)

，h2=

|2x2+kx2-2|

5

=

2(2+k- k2+4 )

5(k2+4)

．|AB|=

22+1

=

5

…（7分）
所以四邊形AEBF的面積為S=

1

2

|AB|(h1+h2)=

1

2

•

5

•

4(2+k)

5(k2+4)

=

2(2+k)

k2+4

…（9分）
=2

4+k2+4k k2+4

=2

1+ 4k k2+4

=2

1+ 4 k+ 4 k

≤2

2

，…（11分）
當(dāng)k²=4（k＞0），即當(dāng)k=2時(shí)，上式取等號(hào)．
所以當(dāng)四邊形AEBF面積的最大值時(shí)，k=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．