(1)點(diǎn)P在橢圓C1的短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F的連線上,且,求點(diǎn)P的軌跡C2的方程;
(2)若直線x+y+m=0與點(diǎn)P的軌跡C2交于兩點(diǎn)M、N,問是否存在實(shí)數(shù)m,使OM⊥ON成立.若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.
解:(1)由拋物線方程y2=4x得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)橢圓中心為O′(t,0),則其半焦距為c=t-1,又左準(zhǔn)線方程為x=-1,則t+1=,∴a2=(t+1)c=t2-1,
∴b2=a2-c2=(t2-1)-(t-1)2=2t-2.可取橢圓短軸上一個(gè)端點(diǎn)B(t,),
其中t>1,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),, ∴λ==2.
∴
即
消去t得y2=(x-1),x>1,即為點(diǎn)P的軌跡C2的方程.
(2)由3y2+2y+2m+2=0.此方程應(yīng)有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根,
則解得
即m<且m≠-1.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使,則x1x2+y1y2=0,
又x1=-y1-m,x2=-y2-m,則有2y1y2+m(y1+y2)+m2=0.
而y1+y2=,y1y2=,代入上式得:m+m2=0,即3m2+2m+4=0,
此方程無(wú)實(shí)數(shù)解,故不存在m使OM⊥ON.
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