Question

設實數(shù)x，y滿足不等式組

1≤x+y≤4 y+2≥|2x-3|

．
（1）作出點（x，y）所在的平面區(qū)域并求出x²+y²的取值范圍；
（2）設m＞-1，在（1）所求的區(qū)域內(nèi)，求Q=y-mx的最值．

Answer 1

分析：（1）將不等式去絕對值化簡，即可作出如圖的四邊形DEFG及其內(nèi)部，即為所求平面區(qū)域．再根據(jù)原點到點（x，y）的距離，算出x²+y²的最大最小值，即可得到x²+y²的取值范圍；
（2）作直線l：Q=y-mx并進行平移，觀察圖形可得：Q的最大值為7+3m；當-1＜k≤2時Q的最小值為-1-2m，當k＞2時Q的最小值為1-3m．

解答：解：（1）將不等式去絕對值，化簡為：

x+y≥1 x+y≤4 2x-y-5≤0 x≥ 3 2

或

x+y≥1 x+y≤4 2x+y-1≥0 x＜ 3 2

平面區(qū)域為如圖所示的四邊形DEFG及其內(nèi)部，其中D（-3，7），E（0，1），F(xiàn)（2，-1），G（3，1）；
由圖可知，當動點（x，y）與點D（-3，7）重合時，
x²+y²達到最大值，最大值為OD²=9+49=58；
當動點（x，y）與原點在直線EF上的射影重合時，
x²+y²達到最小值，最小值為

1

2

∴x²+y²的取值范圍是[

1

2

，58]
（2）作直線l：Q=y-mx，則它的斜率k=m（k＞-1）
運動直線l，并觀察圖形可得：
①當-1＜k≤2即-1＜m≤2時
平移l到經(jīng)過D點時，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m；
平移l到經(jīng)過F點時，Q=y-mx值最小Q_min=-1-2m
②當k＞2，即m＞2時，
平移l到經(jīng)過D點時，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m
平移l到經(jīng)過G點時，Q=y-mx值最小Q_min=1-3m．

點評：本題給出二元一次不等式組，求作平面區(qū)域并求目標函數(shù)的最大最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．