Question

設(shè)f（x）=

1

3

x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2處取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求m和n的值．（注：區(qū)間（a，b）的長度為b-a）

Answer 1

分析：（1）先由導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出g（x），然后利用配方法把二次函數(shù)g（x）表示成頂點(diǎn)式，再根據(jù)g（x） 在x=-2處取得最小值-5，可列方程組求得m、n的值，則問題解決．
（2）首先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+2mx+n（二次函數(shù)），然后根據(jù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，可判斷函數(shù)f′（x）=x²+2mx+n有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁、x₂，且利用根與系數(shù)的關(guān)系能表示出|x₁-x₂|=2

m2-n

，再由“此長度是正整數(shù)”且“m+n＜10（m，n∈N⁺）”為突破口，對m、n進(jìn)行分類討論，最后找到滿足要求的m、n．

解答：解：（1）由題意得g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=（x+m-1）²+（n-3）-（m-1）²，
又g（x） 在x=-2處取得最小值-5，
所以

m-1=2 (m-3)2

+(n-3)-(m-1)2=-5，解得m=3，n=2．
所以f（x）=

1

3

x³+3x²+2x． 
（2）因?yàn)閒′（x）=x²+2mx+n且f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，
所以方程f′（x）=0，即x²+2mx+n=0必有兩不等實(shí)根，
則△=4m²-4n＞0，即m²＞n．
不妨設(shè)方程f′（x）=0的兩根分別為x₁、x₂，則|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

m2-n

且為正整數(shù)．
又因?yàn)閙+n＜10（m，n∈N⁺），所以m≥2時(shí)才能有滿足條件的m、n．
當(dāng)m=2時(shí)，只有n=3符合要求；
當(dāng)m=3時(shí)，只有n=5符合要求；
當(dāng)m≥4時(shí)，沒有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5滿足上述要求．

點(diǎn)評：本題考查了冪函數(shù)的求導(dǎo)公式、二次函數(shù)的最值及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；更主要的是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及分類討論的思想方法．