Question

設x，y∈R，，為直角坐標平面內x軸y軸正方向上的單位向量，若=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8
（Ⅰ）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設曲線C上兩點AB，滿足（1）直線AB過點（0，3），（2）若=+，則OAPB為矩形，試求AB方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）令M（x，y），F(xiàn)₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）
則=，=
即||+||=||+||
即||+||=8
又∵||=4=2C
∴c=2，a=4，b²=12（3分）
所求軌跡方程為+=1（6分）
（Ⅱ）由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在
設AB方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則?（3k²+4）x²+18kx-21=0（8分）
x₁+x₂=-，x₁•x₂=-
y₁•y₂=（kx₁+3）•（kx₂+3）=k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=
∵OAPB為矩形，∴OA⊥OB?•=0（10分）
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0得k=±
所求直線方程為y=±x+3（12分）
分析：（Ⅰ）先令M（x，y），F(xiàn)₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），把||+||轉化為||+||，再利用||+||=8即可知道動點M（x，y）的滿足橢圓定義，進而求出軌跡C的方程；
（Ⅱ）先把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出關于點A和點B的坐標的方程①，在利用OAPB為矩形轉化為OA⊥OB既為•=0．把①式代入就可求直線AB的方程．
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量垂直問題．在研究直線和圓錐曲線問題時，通常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，找到關于二者交點坐標的方程，再代入已知條件解題．