Question

已知橢圓=1（a＞b＞0）的離心率e=，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)，點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上
推斷|F₁F₂|=|PF₂|，進(jìn)而求得c，則a和b可得，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線MN方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，表示出直線F₂M和F₂N的斜率，由α+β=π可推斷兩直線斜率之和為0，把x₁+x₂和x₁x₂代入即可求得k和m的關(guān)系，代入直線方程進(jìn)而可求得直線過定點(diǎn)．
解答：解：（1）由橢圓C的離心率得，其中，
橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上
∴解得c=1，a²=2，b²=1，
∴．
（2）由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+m．由
消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，且
由已知α+β=π，得．
化簡，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂-2m=0
∴整理得m=-2k．
∴直線MN的方程為y=k（x-2），因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生對問題的綜合分析和基本的運(yùn)算能力．