Question

已知拋物線G：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)Q（a，0）（a＞0）的直線l交拋物線G于A，B兩點(diǎn)（如圖所示）． 
（Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）有人發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q為拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，

1

|QA|

+

1

|QB|

的值與直線l的方向無(wú)關(guān)．受其啟發(fā)，你能否找到一個(gè)點(diǎn)Q，使得

1

|QA|2

+

1

|QB|2

的值也與直線l的方向無(wú)關(guān)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線G：y²=2px（p＞0）中p的幾何意義就是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，直接求解拋物線G的方程．（Ⅱ）解法一：直線l交拋物線G于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線AB：x=my+a．聯(lián)立方程組

x=my+a y2=4x

，通過(guò)△＞0，得到a＞-m²時(shí)，直線l與拋物線G相交，設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)

1

|QA|2

+

1

|QB|2

，利用表達(dá)式是定值，推出當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，式子（?）與m的取值無(wú)關(guān)，
得到存在唯一的一個(gè)點(diǎn)Q（2，0）．
解法二：直線AB的斜率k存在，設(shè)直線AB：y=k（x-a），聯(lián)立方程組

y=k(x-a) y2=4x

，設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，表示

1

|QA|2

+

1

|QB|2

是定值，說(shuō)明式子的值與k無(wú)關(guān)．
求得a得到定點(diǎn)定值即可．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�G：y²=2px（p＞0）中p的幾何意義就是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
所以拋物線G的方程是y²=4x．
（Ⅱ）解法一：
因?yàn)橹本�l交拋物線G于A，B兩點(diǎn)，所以直線AB的斜率必不為0．
設(shè)直線AB：x=my+a．
聯(lián)立方程組

x=my+a y2=4x

得y²-4my-4a=0．
當(dāng)△=16m²+16a＞0，即a＞-m²時(shí)，直線l與拋物線G相交，
設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a． 
所以|QA|=

(x1-a)2+ y 2 1

=

m2+1

|y1|，同理可得|QB|=

m2+1

|y2|，
所以

1

|QA|2

+

1

|QB|2

=

1

m2+1

(

1

y12

+

1

y22

)=

1

m2+1

•

y12+y22

(y1y2)2

=

1

m2+1

•

(y1+y2)2-2y1y2

(y1y2)2

=

1

m2+1

•

16m2+8a

16a2

=

1

m2+1

•

m2+ a 2

a2

．（?）        
若

1

|QA|2

+

1

|QB|2

是定值，則式子（?）與m的取值無(wú)關(guān)．
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，式子（?）與m的取值無(wú)關(guān)，
所以存在唯一的一個(gè)點(diǎn)Q（2，0），使得

1

|QA|2

+

1

|QB|2

的值也與直線l的方向無(wú)關(guān)（此時(shí)，

1

|QA|2

+

1

|QB|2

恒為定值

1

4

）．                              
解法二：
由條件可知直線AB的斜率不為0，
若直線AB的斜率k存在，設(shè)直線AB：y=k（x-a），
聯(lián)立方程組

y=k(x-a) y2=4x

得k²x²-（2k²a+4）x+k²a²=0，
當(dāng)△=（2k²a+4）²-4k⁴a²=16k²a+16＞0時(shí)，直線l與拋物線G相交．
設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2k2a+4

k2

，x1x2=a2．
所以|QA|=

(x1-a)2+ y 2 1

=

k2+1

|x1-a|，同理可得|QB|=

k2+1

|x2-a|，
所以

1

|QA|2

+

1

|QB|2

=

1

k2+1

(

1

(x1-a)2

+

1

(x2-a)2

)=

1

k2+1

•

(x1-a)2+(x2-a)2

(x1-a)2•(x2-a)2

=

1

k2+1

•

8k2a+16

16a2

（?） 
若

1

|QA|2

+

1

|QB|2

是定值，則式子（?）的值與k無(wú)關(guān)．
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)8a=16，a=2時(shí)，式子（?）的值與k無(wú)關(guān)，
所以存在點(diǎn)Q（2，0），使得

1

|QA|2

+

1

|QB|2

恒為定值

1

4

．
若直線AB斜率不存在，即直線AB：x=2，
此時(shí)|QA|²=|QB|²=8，也滿足

1

|QA|2

+

1

|QB|2

=

1

4

． 
綜上可知，能找到一個(gè)點(diǎn)Q，使得

1

|QA|2

+

1

|QB|2

的值也與直線l的方向無(wú)關(guān)（如取Q（2，0），則

1

|QA|2

+

1

|QB|2

恒為定值

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、拋物線、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．