Question

3．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），過點M（0，2）的直線l與拋物線交于A，B兩點，且直線l與x軸交于點C．
（1）求證：|MC|²=|MA|•|MB|；
（2）設(shè)$\overrightarrow{MA}$=α$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=$β\overrightarrow{BC}$，試問α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{p}{2}$=1，可得拋物線方程為：y²=4x．設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．C$（-\frac{2}{k}，0）$．（k≠0）與拋物線方程聯(lián)立化為：k²x²+（4k-4）x+4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間的距離公式即可證明|MC|²=|MA|•|MB|．
（2）由$\overrightarrow{MA}$=α$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=$β\overrightarrow{BC}$，利用（1）可得：x₁=α$（-\frac{2}{k}-{x}_{1}）$，x₂=β$（-\frac{2}{k}-{x}_{2}）$，α+β=$\frac{-{x}_{1}}{\frac{2}{k}+{x}_{1}}$+$\frac{-{x}_{2}}{\frac{2}{k}+{x}_{2}}$，化簡通分利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 （1）證明：由$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．∴拋物線方程為：y²=4x．
設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．C$（-\frac{2}{k}，0）$．（k≠0）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：k²x²+（4k-4）x+4=0，
△＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{4-4k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$．
∴|MC|²=$（\frac{2}{k}）^{2}+{2}^{2}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4．
|MA|•|MB|=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+（{y}_{1}-2）^{2}}$$\sqrt{{x}_{2}^{2}+（{y}_{2}-2）^{2}}$=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+（k{x}_{1}）^{2}}$$\sqrt{{x}_{2}^{2}+（k{x}_{2}）^{2}}$=（1+k²）×|x₁x₂|=$（1+{k}^{2}）×\frac{4}{{k}^{2}}$=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∴|MC|²=|MA|•|MB|．
（2）解：由$\overrightarrow{MA}$=α$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=$β\overrightarrow{BC}$，利用（1）可得：x₁=α$（-\frac{2}{k}-{x}_{1}）$，x₂=β$（-\frac{2}{k}-{x}_{2}）$，
∴α+β=$\frac{-{x}_{1}}{\frac{2}{k}+{x}_{1}}$+$\frac{-{x}_{2}}{\frac{2}{k}+{x}_{2}}$=$-\frac{\frac{2}{k}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{1}{x}_{2}}{\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{2}{k}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{\frac{2}{k}×\frac{4-4k}{{k}^{2}}+\frac{8}{{k}^{2}}}{\frac{4}{{k}^{2}}+\frac{2}{k}×\frac{4-4k}{{k}^{2}}+\frac{4}{{k}^{2}}}$=-1．
∴α+β為定值-1．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．