Question

8．已知拋物線y²=2px（p＞0）過定點A（1，1），B，C是拋物線上異于A的兩個動點，且AB⊥AC．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求證：直線BC恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線方程將A（1，1）代入，即可求得p的值，寫出拋物線方程；
（Ⅱ）設(shè)出B和C點坐標及直線BC方程，代入拋物線方程，求得關(guān)于y的一元二次方程，求得y₁+y₂和y₁y₂的表達式，求得k_AB•k_AC=-1，即可求得m的值，寫出直線BC方程，
即可證明恒過定點（2，-1）．

解答 解：（Ⅰ）由題意得1²=2p×1，
∴$p=\frac{1}{2}$，
∴所求拋物線的方程為y²=x．
（Ⅱ）證明：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC：x=my+t，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+t\\{y^2}=x\end{array}\right.$得：y²-my-t=0，△＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-t，
由AB⊥AC，
k_AB•k_AC=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{1}{{y}_{1}+1}$•$\frac{1}{{y}_{2}+1}$=-1，
∴y₁•y₂+y₁+y₂+1=-1，
∴-t+m=-2，
∴t=m+2，
∴BC：x=m（y+1）+2，
所以直線BC恒過定點（2，-1）．

點評 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，證明直線AB必過定點時，要熟練掌握其中設(shè)而不求的解題思想，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．