Question

5．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，有下列說法：
①若點P在△BDC₁所在平面上運動，則三棱錐P-AB₁D₁的體積為定值；
②若點M、N、L分別是棱A₁B₁、A₁D、A₁A上與端點不重合的三個動點，則△MNL必為銳角三角形；
③若點Q為A₁A的中點，點G為正方形A₁B₁C₁D₁（包含邊界）內(nèi)一個動點，且始終滿足GQ⊥A₁C，則動點Q的軌跡是以A₁為圓心，$\frac{\sqrt{2}}{3}$a為半徑的一段圓��；
④若M∈線段A₁C（除端點A₁、C外），A₁C⊥平面α截正方體得到的截面是不同的多邊形，則這些不同的多邊形只能是三角形或六邊形，且它們的面積和周長的最大值分別為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²和3$\sqrt{2}$a．
其中說法正確的是①②④（寫出正確說法的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)正方體的幾何特征，逐一分析和判斷四個命題的真假，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，

①若點P在△BDC₁所在平面上運動，則三棱錐P-AB₁D₁的高為定值$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，底面AB₁D₁的面積為定值$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，故三棱錐P-AB₁D₁的體積為定值$\frac{1}{6}{a}^{3}$，故正確；
②若點M、N、L分別是棱A₁B₁、A₁D、A₁A上與端點不重合的三個動點，則△MNL必為銳角三角形，故正確；
③若點Q為A₁A的中點，點G為正方形A₁B₁C₁D₁（包含邊界）內(nèi)一個動點，且始終滿足GQ⊥A₁C，則動點Q的連接A₁B₁，A₁D₁中點的線段，故錯誤；
④若M∈線段A₁C（除端點A₁、C外），A₁C⊥平面α截正方體得到的截面是不同的多邊形，則這些不同的多邊形只能是三角形或六邊形，
當(dāng)M落在線段A₁C的中點上時，它們的面積和周長取最大值，分別為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²和3$\sqrt{2}$a，故正確．
綜上所述，正確的說法是：①④，
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了正方體的幾何特征，棱錐的體積，三角形形狀的判斷，難度中檔．