Question

3．如圖，點E在直角三角形ABC的斜邊AB上，四邊形CDEF為正方形，已知正方形CDEF的面積等于36．設AF=x，直角三角形ABC的面積S=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）表達式；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調性定義求f（x）的單調區(qū)間，并求出f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據三角形的面積公式計算即可；
（Ⅱ）根據函數(shù)單調性的定義判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）∵正方形CDEF的面積等于36，
∴$\frac{EF}{CD+BD}$=$\frac{AF}{AF+CF}$=$\frac{6}{6+BD}$=$\frac{x}{6+x}$，
∴BD=$\frac{36}{x}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（6+x）（6+$\frac{36}{x}$）=3x+$\frac{108}{x}$+36；（x＞0）；
（Ⅱ）設x₁＞x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=3x₁+$\frac{108}{{x}_{1}}$-3x₂-$\frac{108}{{x}_{2}}$=3（x₁-x₂）（1-$\frac{36}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
當0＜x₂＜x₁＜6時，1-$\frac{36}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，函數(shù)在（0，6）遞減，
當6＜x₂＜x₁時，1-$\frac{36}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)在（0，6）遞增，
∴x=6時，f（x）最小，f（x）的最小值是90．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查求函數(shù)的解析式問題，是一道中檔題．