Question

已知f（x）是定義在R上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z，用I_k表示區(qū)間（2k-1，2k+1]．已知當(dāng)x∈I₀，f（x）=sin²x
（1）求f（x）在I_k上的解析表達式；
（2）當(dāng)x∈[2，2+

π

4

]時，令g（x）=f（x）+（2a-1）

f(x)

+a²+

1

4

，求g（x）的最大值與最小值（用a表示）并寫出對應(yīng)的x值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的周期性

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由周期性求f（x）=f（x-2k）=sin²（x-2k）．x∈（2k-1，2k+1]，（2）分類討論求出g（x）的最大值與最小值（用a表示）并寫出對應(yīng)的x值．

解答： 解：（1）任取x∈（2k-1，2k+1]，∵T=2
∴f（x-2k）=f（x），
而x-2k∈（-1，1]．
∴f（x）=f（x-2k）=sin²（x-2k）．
（2）x∈[2，2+

π

4

]時，
g（x）=f（x）+（2a-1）

f(x)

+a²+

1

4

，
=sin²（x-2）+（2a-1）sin（x-2）+a²+

1

4

，
令t=sin（x-2），則t∈[0，

2

2

]
設(shè)h（t）=t²+（2a-1）t+a²+

1

4

①當(dāng)

2

2

≤

1

2

-a，即a≤

1- 2

2

時，
h（t）在[0，

2

2

]上單調(diào)遞減；
h（t）_min=h（

2

2

）=a²+

2

a+

3-2 2

4

，此時x=2+

π

4

；
h（t）_max=h（0）=a²+

1

4

，此時x=2．
②當(dāng)0＜

1

2

-a＜

2

2

，即

1- 2

2

＜a＜

1

2

時，
h（t）_min=h（

1

2

-a）=a，此時x=2+αrcsin（

1

2

-a）；
若0＜

1

2

-a≤

2

4

即

2- 2

4

≤a＜

1

2

時，
h（t）_max=h（

2

2

）=a²+

2

a+

3-2 2

4

，此時x=2+

π

4

；
若

2

4

＜

1

2

-a＜

2

2

即

1- 2

2

＜a＜

2- 2

4

時，
h（t）_max=h（0）=a²+

1

4

，此時x=2．
③當(dāng)

1

2

-a≤0，即a≥0時，
h（t）在[0，

2

2

]上單調(diào)遞增；
h（t）_min=h（0）=a²+

1

4

，此時x=2；
h（t）_max=h（

2

2

）=a²+

2

a+

3-2 2

4

，此時x=2+

π

4

；
綜上所述，
g（x）_min=

a2+ 1 4 ，a≤ 2- 2 4 ，此時x=2 a2+ 2 a+ 3-2 2 4 ，a＞ 2- 2 4 ，此時x=2+ π 4

g（x）_max=

a2+ 1 4 ，(a≥ 1 2 )，此時x=2 a，( 1- 2 2 ＜a＜ 1 2 )，此時x=αrcsin( 1 2 -a)+2 a2+ 2 a+ 3-2 2 4 ，(a≤ 1- 2 2 )，此時x=2+ π 4

．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與分類討論的思想，化簡比較困難．