Question

13．已知f（x）=|2ax+1|，（a∈R），不等式f（x）≤3的解集{x|-2≤x≤1}．
（1）求a的值；
（2）若$|f（x）-2f（\frac{x}{2}）|≤k$恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出-2≤ax≤1，而不等式f（x）≤3的解集{x|-2≤x≤1}，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出a的值即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|2x+2|-|2x+1|≤|2x+2-2x-1|=1≤k，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由|2ax+1|≤3，
得-3≤2ax+1≤3，
故-4≤2ax≤2，
故-2≤ax≤1，
而不等式f（x）≤3的解集{x|-2≤x≤1}，
故a=1；
（2）由（1）得：f（x）=|2x+1|，
f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）=|2x+1|-2|x+1|=|2x+1|-|2x+2|，
若$|f（x）-2f（\frac{x}{2}）|≤k$恒成立，
即|2x+2|-|2x+1|≤|2x+2-2x-1|=1≤k，
故k≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．