【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值及曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)最小值為;切線方程為;(2).
【解析】
試題分析:(1)首先求得函數(shù)的定義與導(dǎo)函數(shù),然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系得到函數(shù)的單調(diào)性,由此求得函數(shù)的最小值,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程的斜率,從而求得切線的方程;(2)首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,然后設(shè),從而通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性,并求得其最大值,進(jìn)而求得的取值范圍.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
,
令,得;令,得;令,得;
故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故函數(shù)的最小值為...........................4分
,即切線的斜率為2,
故所求切線方程為,即,
化簡(jiǎn)得.................................................6分
(2)不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立,可得在上恒成立,
設(shè),則,
令,得,或(舍去)
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
當(dāng)變化時(shí)變化情況如下表:
1 | |||
0 | |||
單調(diào)遞增 | -2 | 單調(diào)遞減 |
所以當(dāng)時(shí),取得最大值,,所以,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是................................12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,且是與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若為整數(shù),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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【題目】已知數(shù)據(jù),,,…,是棗強(qiáng)縣普通職工(,)個(gè)人的年收入,設(shè)個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,平均數(shù)為,方差為,如果再加上世界首富的年收入,則這個(gè)數(shù)據(jù)中,下列說(shuō)法正確的是( )
A.年收入平均數(shù)大大增加,中位數(shù)一定變大,方差可能不變
B.年收入平均數(shù)大大增加,中位數(shù)可能不變,方差變大
C.年收入平均數(shù)大大增加,中位數(shù)可能不變,方差也不變
D.年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),其導(dǎo)函數(shù)為.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中)
(Ⅰ) 若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ) 是否存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),不等式恒成立,如果存在,求的取值范圍,如果不存在,說(shuō)明理由(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),=2.71828…).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面四邊形中, , ,將沿折起,使得平面平面,如圖.
(1)求證: ;
(2)若為中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,其中.
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若在上的最大值是0,求的取值范圍.
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【題目】某企業(yè)開(kāi)發(fā)一種新產(chǎn)品,現(xiàn)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷(xiāo),在一年內(nèi),預(yù)計(jì)年銷(xiāo)量Q(萬(wàn)件)與廣告費(fèi)x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)關(guān)系為,已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元,每年產(chǎn)1萬(wàn)件此產(chǎn)品仍需要投入32萬(wàn)元,若年銷(xiāo)售額為,而當(dāng)年產(chǎn)銷(xiāo)量相等。
(1)試將年利潤(rùn)P(萬(wàn)件)表示為年廣告費(fèi)x(萬(wàn)元)的函數(shù);
(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí),企業(yè)年利潤(rùn)最大?
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