Question

1．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知2sin²A+sin²B=sin²C．
（1）若b=2a=4，求△ABC的面積；
（2）求$\frac{{c}^{2}}{ab}$的最小值，并確定此時$\frac{c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）2sin²A+sin²B=sin²C，由正弦定理可得2a²+b²=c²，b=2a=4，c=2$\sqrt{6}$，求出sinC，即可求△ABC的面積；
（2）利用基本不等式求$\frac{{c}^{2}}{ab}$的最小值，并確定此時$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：（1）∵2sin²A+sin²B=sin²C，
∴由正弦定理可得2a²+b²=c²，
∵b=2a=4，∴c=2$\sqrt{6}$，
∴cosC=$\frac{4+16-24}{2×2×4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$；
（2）2a²+b²=c²≥2$\sqrt{2}$ab，
∴$\frac{{c}^{2}}{ab}$≥2$\sqrt{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{ab}$的最小值為2$\sqrt{2}$，
此時b=$\sqrt{2}$a，c=2a，$\frac{c}{a}$=2．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查基本不等式，屬于中檔題．