Question

6．已知實數(shù)x，y滿足-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{4}$≤y≤$\frac{π}{4}$，若2•3^x+sinx-2=0，9^y+sinycosy-1=0，則cos（x-2y）的值為1．

Answer 1

分析 設(shè)f（u）=u³+sinu，根據(jù)題設(shè)等式可知f（x）=2，f（2y）=2，可得f（x）=f（2y），利用單調(diào)性進而推斷出x-2y=0，進而求得cos（x-2y）的值．

解答 解：實數(shù)x，y滿足-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{4}$≤y≤$\frac{π}{4}$，若2•3^x+sinx-2=0，9^y+sinycosy-1=0，
設(shè)f（u）=2•3^u+sinu，由題意得f（u）=2，f（x）=2．
由9^y+sinycosy-1=0，即 3^2y+$\frac{1}{2}$sin2y-1=0，即 2•3^2y+sin2y=2，故f（2y）=2．
因為f（u）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上是單調(diào)函數(shù)，
∴f（x）=f（2y），∴x=2y，即x-2y=0．
∴cos（x-2y）=cos0=1，
故答案為：1．

點評 本題主要考查了利用函數(shù)思想解決實際問題，考查了學(xué)生運用函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化和化歸的思想，屬于中檔題