Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E、F分別是側(cè)面對(duì)角線AB₁、BC₁的中點(diǎn)，
（1）求證：EF∥平面ABCD
（2）求兩條異面直線AB₁與BC₁所成的角．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，取BB₁的中點(diǎn)M，∵點(diǎn)E、F分別是側(cè)面對(duì)角線AB₁、BC₁的中點(diǎn)，
由三角形中位線的性質(zhì)可得 EM∥AB，而AB?平面ABCD，EM不在平面ABCD內(nèi)，∴EM∥平面ABCD．
同理可證 FM∥平面A₁B₁C₁D₁ ，由平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁ ，
可得FM∥平面ABCD．
由EM∩FM=M，可得平面EFM∥平面ABCD．
∵EF?平面EFM，∴EF∥平面ABCD．
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AB₁∥BC₁，∴∠D₁AB₁ 即為所求．
△D₁AB₁中，三邊長(zhǎng)都相等，都等于AB，故△D₁AB₁是等邊三角形，故∠D₁AB₁=60°．
故兩條異面直線AB₁與BC₁所成的角等于60°．
分析：（1）如圖，取BB₁的中點(diǎn)M，由三角形中位線的性質(zhì)可得 EM∥AB，證明EM∥平面ABCD，F(xiàn)M∥平面A₁B₁C₁D₁ ，從而證明FM∥平面ABCD，可得平面EFM∥平面ABCD，再由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可得 EF∥平面ABCD．
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由AB₁∥BC₁，可得∠D₁AB₁ 即為所求．再根據(jù)△D₁AB₁是等邊三角形，可得∠D₁AB₁=60°，從而求得兩條異面直線AB₁與BC₁所成的角．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、面面平行的方法，直線和平面平行、兩個(gè)平面平行的判定定理的應(yīng)用，異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．