Question

函數(shù)f（x）=kx-lnx（k為常數(shù)，且k＞0），若方程f′（x）•（k-

1

f(x)

）=0有唯一的實根x₀，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：

分析：f′(x)=k-

1

x

，則方程f′（x）•（k-

1

f(x)

）=0有唯一的實根x₀，即(k-

1

x

)•(k-

1

kx-lnx

)=0有唯一的實根x₀，分類討論：kx-lnx=x=

1

k

，解得k．k-

1

x

=0，k-

1

kx-lnx

≠0，解出即可．

解答： 解：f′(x)=k-

1

x

，
∴方程f′（x）•（k-

1

f(x)

）=0有唯一的實根x₀，即(k-

1

x

)•(k-

1

kx-lnx

)=0有唯一的實根x₀，
分類討論：①kx-lnx=x=

1

k

，解得k=1．
②k-

1

x

=0，k-

1

kx-lnx

≠0，∴l(xiāng)n

1

k

≠1-

1

k

，
當k＞1時，0＜

1

k

＜1，ln

1

k

＜0，1-

1

k

＞0，ln

1

k

≠1-

1

k

，因此k＞1滿足題意．
當0＜k＜1時，

1

k

＞1，ln

1

k

＞0，1-

1

k

＜0，ln

1

k

≠1-

1

k

，因此0＜k＜1滿足題意．
綜上可得：k＞0．

點評：本題考查了導數(shù)的應用、函數(shù)的單調性與函數(shù)零點的關系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．