Question

如圖，一個(gè)圓形游戲轉(zhuǎn)盤(pán)被分成6個(gè)均勻的扇形區(qū)域．用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是每次游戲所得的分?jǐn)?shù)（箭頭指向兩個(gè)區(qū)域的邊界時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)），且箭頭A指向每個(gè)區(qū)域的可能性都是相等的．在一次家庭抽獎(jiǎng)的活動(dòng)中，要求每個(gè)家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉(zhuǎn)動(dòng)一次游戲轉(zhuǎn)盤(pán)，得分情況記為（a，b）（假設(shè)兒童和成人的得分互不影響，且每個(gè)家庭只能參加一次活動(dòng)）．
（Ⅰ）求某個(gè)家庭得分為（5，3）的概率；
（Ⅱ）若游戲規(guī)定：一個(gè)家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎(jiǎng)品．求某個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅲ）若共有4個(gè)家庭參加家庭抽獎(jiǎng)活動(dòng)．在（Ⅱ）的條件下，記獲獎(jiǎng)的家庭數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記事件A：某個(gè)家庭得分情況為（5，3）．由等可能求件的概率計(jì)算公式能求出某個(gè)家庭得分為（5，3）的概率．
（Ⅱ）記事件B：某個(gè)家庭在游戲中獲獎(jiǎng)，則符合獲獎(jiǎng)條件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3類(lèi)情況．由此能求出某個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率都是

1

3

，X～B（4，

1

3

），由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）記事件A：某個(gè)家庭得分情況為（5，3）．
P（A）=

1

3

×

1

3

=

1

9

．
所以某個(gè)家庭得分情況為（5，3）的概率為

1

9

．…（2分）
（Ⅱ）記事件B：某個(gè)家庭在游戲中獲獎(jiǎng)，
則符合獲獎(jiǎng)條件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3類(lèi)情況．
所以P（B）=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

=

1

3

所以某個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率為

1

3

．…（4分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每個(gè)家庭獲獎(jiǎng)的概率都是

1

3

，
∴X～B（4，

1

3

）…（5分）
P（X=0）=（

2

3

）⁴=

16

81

，P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，
P（X=4）=(

1

3

)4=

1

81

，…（10分）
∴X分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

EX=np=4×

1

3

=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．