Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，bn+1=abn，cn=

bn

bn-1

+

bn-1-2

bn-1-1

，求數(shù)列c_n的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將點(diǎn)代入到曲線方程中，得到a_n和S_n的關(guān)系式，再由a_n=S_n-S_n-1，能夠得到a_n的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由bn+1=abn，a_n=2n-1，知b_n+1=2b_n-1，b_n+1-1=2（b_n-1），即

bn+1-1

bn-1

=2，從而能得到cn=

bn

bn-1

+

bn-1-2

bn-1-1

=

2n+1

2n

+

2n-1-1

2n-1

=

2n+1-1

2n

=2- 

1

2n

，進(jìn)而得到T_n．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)椋╝_n+1）²=4S_n，所以Sn=

(an+1)2

4

，Sn+1=

(an+1+1)2

4

所以Sn+1-Sn=

(an+1+1)2-(an+1)2

4

即4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n，所以2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
因?yàn)閍_n+1+a_n≠0，所以a_n+1-a_n=2，
即數(shù)列{a_n}為公差等于2的等差數(shù)列
則（a₁+1）²=4a₁，解得a₁=1，所以a_n=2n-1
（Ⅱ）因?yàn)?span id="nhxbjvf" class="MathJye">bn+1=abn，a_n=2n-1，所以b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1），即

bn+1-1

bn-1

=2
所以數(shù)列{b_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列
又b₁=3，所以b₁-1=2
故b_n-1=2•2^n-1，即b_n=2ⁿ+1
所以cn=

bn

bn-1

+

bn-1-2

bn-1-1

=

2n+1

2n

+

2n-1-1

2n-1

=

2n+1-1

2n

=2- 

1

2n

，
Tn=2n-  [1-(

1

2

)n]=2n-1+(

1

2

)n

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算．在對(duì)已知a_n和S_n的關(guān)系式中，往往都是利用迭代的方法，a_n=S_n-S_n-1．在數(shù)列求和時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．